.RU

1.5.10. Решение задач 7,8 контрольной работы № 1 - Множества и операции над ними


1.5.10. Решение задач 7,8 контрольной работы № 1


При решении задач комбинаторики рекомендуем выбирать нужную формулу, пользуясь блок-диаграммой (рис. 1.27).

Задача. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Составим список в порядке: председатель, заместитель, казначей. Выбираем трех из 9 человек, т.е. . Порядок важен? Да, выбираем правую часть блок-диаграммы (рис. 1.27). Следующий вопрос: выбираем все n элементов? Нет. Повторения есть? Нет. Следовательно, наша выборка – размещение без повторений и количество таких выборок



З
адача. Сколькими способами 40 человек можно рассадить в три автобуса, если способы различаются только количеством человек в каждом автобусе?

Решение. Выстроим 40 человек в очередь и выдадим каждому билет с номером автобуса. Получим выборку, например, такую: . В этой выборке 40 элементов (), а значений – номеров автобусов – три (). Порядок важен? Чтобы ответить на этот вопрос, поменяем местами двух человек в очереди и посмотрим, изменилась ли выборка. Выборка не изменилась, т.к. количество людей в каждом автобусе осталось прежним. Порядок не важен, поэтому выбираем левую часть блок-диаграммы (рис. 1.27). Повторения есть? Да, в нашей выборке номер автобуса может встречаться несколько раз. Следовательно, выборка является сочетанием с повторениями из по элементов:



1.5.11. Бином Ньютона


В школе изучают формулы сокращенного умножения:



Бином Ньютона позволяет продолжить этот ряд формул. Раскроем скобки в следующем выражении:



Общий член суммы будет иметь вид Чему равен коэффициент C? Он равен количеству способов, которыми можно получить слагаемое (т.е. количеству способов, которыми можно выбрать k скобок с множителем a, а из остальных скобок взять множитель b). Например, если то слагаемое можем получить, выбрав множитель a из первой и пятой скобки. Каков тип выборки? Порядок перечисления не важен (выбираем сначала первую, затем пятую скобки, или, наоборот, сначала пятую, затем первую – безразлично), повторяющихся элементов (одинаковых номеров скобок) в выборке нет. Это сочетание без повторений. Количество таких выборок равно



Таким образом, формула бинома для произвольного натурального n имеет вид:



или

.

Пример. При получим формулу



т.к.

Проверьте правильность формулы, перемножив на .

Строгое доказательство формулы бинома Ньютона проводится методом математической индукции.


1.5.12. Свойства биномиальных коэффициентов


Биномиальными коэффициентами являются величины

,

которые выражают число сочетаний из n элементов по k. Эти величины обладают следующими свойствами.

Свойство симметрии.

.

В формуле бинома это означает, что коэффициенты, стоящие на одинаковых местах от левого и правого концов формулы, равны, например:

Действительно, - это количество подмножеств, содержащих k элементов, множества, содержащего n элементов. А - количество дополнительных к ним подмножеств. Сколько подмножеств, столько и дополнений.

Свойство Паскаля.



Пусть . Число - это количество подмножеств из k элементов множества X. Разделим все подмножества на два класса:

1) подмножества, не содержащие элемент , - их будет ;

2) подмножества, содержащие элемент , - их будет .

Т
.к. эти классы не пересекаются, то по правилу суммы количество всех k-элементных подмножеств множества X будет равно


На этом свойстве основано построение треугольника Паскаля (рис. 1.28), в n-ой строке которого стоят коэффициенты разложения бинома .

Свойство суммы.



Подставим в формулу бинома Ньютона



значения . Получим



Заметим, что с точки зрения теории множеств сумма выражает количество всех подмножеств n-элементного множества. По теореме о мощности булеана (см. 1.4.6) это количество равно .

Свойство разности.



Положим в формуле бинома Ньютона . Получим в левой части , а в правой – биномиальные коэффициенты с чередующимися знаками, что и доказывает свойство.

Последнее свойство удобнее записать, перенеся все коэффициенты с отрицательными знаками в левую часть формулы:



тогда свойство легко запоминается в словесной формулировке: “ сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна сумме биномиальных коэффициентов с четными номерами”.

Задача. Найти член разложения бинома не содержащий x, если сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна 512.

Решение. По свойству разности сумма биномиальных коэффициентов с четными номерами также равна 512, значит, сумма всех коэффициентов равна 512+512=1024. Но по свойству суммы это число равно . Поэтому . Запишем общий член разложения бинома и преобразуем его:



при получим:



Член разложения не содержит x, если , т.е. . Итак, девятый член разложения не содержит x и равен

Свойство максимума. Если степень бинома n – четное число, то среди биномиальных коэффициентов есть один максимальный при. Если степень бинома нечетное число, то максимальное значение достигается для двух биномиальных коэффициентов при и

Так, при максимальным является коэффициент , а при максимальное значение равно (рис. 1.28).


1.5.13. Контрольные вопросы и упражнения


  1. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов важен, является ______________________ .

  2. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов безразличен, является ________________________ .

  3. Количество размещений с повторениями из n элементов по r элементов определяется по формуле


__________ = ________________________ .


  1. Количество сочетаний из n элементов по r элементов определяется по формуле


____________ = ________________________ .

  1. Сформулируйте основные правила комбинаторики.

  2. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма, если имеется 5 конвертов и 4 марки?

  3. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

  4. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (все полосы горизонтальные), если имеются ткани пяти различных цветов?

  5. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 футбольных команд, если известно, что все команды набрали различное количество очков?

  6. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, если имеется 7 бегунов?

  7. Сколькими способами можно разложить 12 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по три предмета?

  8. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по четырем различным ящикам?

  9. Запишите разложение бинома .

  10. Докажите свойство симметрии биномиальных коэффициентов, сравнив формулы для и .

  11. Найдите максимальный числовой коэффициент в разложении бинома .

2-vneshnyaya-politika-namakon-namacon-zao-nezavisimoe-agentstvo-independent-marketing-marketing-i-konsalting.html
2-vnutrennyaya-politika-informacionnij-byulleten-18-mart-aprel-2011-g.html
2-vopros-lekcii-elektronnij-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-ekologiya-i-ustojchivoe-razvitie.html
2-vopros-uvenchannij-lavrami.html
2-voprosi-dlya-tekushego-kontrolya-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-kursu-sociologiya-massovoj-kommunikacii-dlya.html
2-voprosi-obrazovaniya-kulturi-sporta-19-stranica-11.html
  • nauka.largereferat.info/uroki-rezhissuri-stranica-3.html
  • zadachi.largereferat.info/svoboda-sovst-ta-pravov-garant-realzac.html
  • reading.largereferat.info/literatura-dlya-samostoyatelnoj-raboti-literatura-dlya-samostoyatelnoj-raboti-20.html
  • shpargalka.largereferat.info/uchebno-metodicheskij-kompleks-sostoit-iz-normativno-metodicheskih-i-organizacionno-pravovih-materialov-obespechivayushih-izuchenie-disciplini-struktura-umk-sostoit-iz-treh-modulej-modul-stranica-3.html
  • university.largereferat.info/glava-3-v-a-mihelson-v-a-grebennikov.html
  • gramota.largereferat.info/zhrec-hrama-bela-nikolaj-nepomnyashij.html
  • institut.largereferat.info/tematika-referatov-i-primernie-plani-uchebno-metodicheskoe-posobie-dlya-studentov-obuchayushihsya-po-specialnosti-080109.html
  • doklad.largereferat.info/urok-po-informatike-v-10-b-klasse-na-temu-ustrojstva-pamyati-kompyutera-vnutrennyaya-i-vneshnyaya-pamyat.html
  • notebook.largereferat.info/grnti-291919-291911-291921-nauchnoj-i-nauchno-organizacionnoj-deyatelnosti.html
  • lesson.largereferat.info/nformacjna-model-uprovadzhennya-sistemi-yakost-vnz.html
  • uchebnik.largereferat.info/variant-3-chast-1-proslushajte-tekst-i-vipolnite-zadanie-s1-na-otdelnom-liste-ili-blanke-snachala-zapishite-nomer-zadaniya-a-zatem-tekst-szhatogo-izlozheniya.html
  • tetrad.largereferat.info/v-v-ivashkin-institut-prikladnoj-matematiki-imeni-m-v-keldisha-ran-125047-moskva-miusskaya-pl-4.html
  • desk.largereferat.info/podem-vlasti-zakon-obnovleniya-85.html
  • knigi.largereferat.info/ris-13-morfostrukturnaya-zonalnost-poyasnost-rossipej-po-slovar-po-geologii-rossipej.html
  • credit.largereferat.info/opit-i-praktika-v-amerikanskoj-auditoriii.html
  • college.largereferat.info/327-sire-otchet-otkritoe-akcionernoe-obshestvo-gazprom.html
  • writing.largereferat.info/anatolij-azolskij-stranica-28.html
  • holiday.largereferat.info/modeli-propagandistskoj-kommunikacii-aya-kommunikaciya-i-ne-bilo-nuzhdi-v-ritoricheskih-uhishreniyah-kak-i-v-srednie.html
  • shpora.largereferat.info/yu-nisnevich-informacionnaya-politika-rossii-problemi-i-perspektivi-moskva-1998-stranica-11.html
  • klass.largereferat.info/avtori-semakin-i-g-zalogova-l-a-rusakov-s-v-shestakova-l-v.html
  • writing.largereferat.info/2-tematika-lyubvi-vina-naslazhdeniya-oglavlenie.html
  • znanie.largereferat.info/82-auditorskie-riski-novie-trebovaniya-planirovanie-audita-32-moshennichestvo-i-oshibki-32-uchet-zakonov-i-inih.html
  • turn.largereferat.info/otchet-o-nauchno-issledovatelskoj-rabote-po-dogovoru-05-02-96-ot-25-iyunya-2010-g-programma-003-nauchnie-issledovaniya-v-oblasti-ohrani-okruzhayushej-sredi.html
  • testyi.largereferat.info/anatolij-azolskij-stranica-34.html
  • klass.largereferat.info/algoritm-i-ego-svojstva.html
  • school.largereferat.info/mark-morris-bessmertnij-oborotni-antologiya-2010.html
  • turn.largereferat.info/plani-dhe-programi-na-osnovu-chlana-20-stav-zakona-o-sredem-obrazovau-i-vaspitau-sluzhbeni-glasnik-srs-bro.html
  • spur.largereferat.info/lvovicha-shvarca-kogda-tebe-teplo-i-myagko-mudree-dremat-i-pomalkivat.html
  • predmet.largereferat.info/rekomendacii-po-podgotovke-i-oformleniyu-materialov.html
  • znaniya.largereferat.info/raspisanie-uchebnih-zanyatij-vechernego-otdeleniya-vkursa.html
  • tetrad.largereferat.info/udk-378-147-808-5-serdyukova-n-a-obuchenie-studentov-vuza-pismennim-zhanram-ubezhdayushej-rechi.html
  • uchit.largereferat.info/strategicheskie-matrici-kurs-lekcij-degtev-p-a-marketing-lekciya-1.html
  • studies.largereferat.info/i-zadacha-muziki-zadachi-interpretatora-i-fortepiannoj-pedagogiki-konspekt-i-voprosi-k-zachyotu-sostavitel.html
  • urok.largereferat.info/prilozhenie-9-t-d-sammerzom-28-maya-2009-g.html
  • lecture.largereferat.info/avtor-sostavitel-n-a-ionina-stranica-5.html
  • © LargeReferat.info
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.