.RU

1.5.10. Решение задач 7,8 контрольной работы № 1 - Множества и операции над ними


1.5.10. Решение задач 7,8 контрольной работы № 1


При решении задач комбинаторики рекомендуем выбирать нужную формулу, пользуясь блок-диаграммой (рис. 1.27).

Задача. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Составим список в порядке: председатель, заместитель, казначей. Выбираем трех из 9 человек, т.е. . Порядок важен? Да, выбираем правую часть блок-диаграммы (рис. 1.27). Следующий вопрос: выбираем все n элементов? Нет. Повторения есть? Нет. Следовательно, наша выборка – размещение без повторений и количество таких выборок



З
адача. Сколькими способами 40 человек можно рассадить в три автобуса, если способы различаются только количеством человек в каждом автобусе?

Решение. Выстроим 40 человек в очередь и выдадим каждому билет с номером автобуса. Получим выборку, например, такую: . В этой выборке 40 элементов (), а значений – номеров автобусов – три (). Порядок важен? Чтобы ответить на этот вопрос, поменяем местами двух человек в очереди и посмотрим, изменилась ли выборка. Выборка не изменилась, т.к. количество людей в каждом автобусе осталось прежним. Порядок не важен, поэтому выбираем левую часть блок-диаграммы (рис. 1.27). Повторения есть? Да, в нашей выборке номер автобуса может встречаться несколько раз. Следовательно, выборка является сочетанием с повторениями из по элементов:



1.5.11. Бином Ньютона


В школе изучают формулы сокращенного умножения:



Бином Ньютона позволяет продолжить этот ряд формул. Раскроем скобки в следующем выражении:



Общий член суммы будет иметь вид Чему равен коэффициент C? Он равен количеству способов, которыми можно получить слагаемое (т.е. количеству способов, которыми можно выбрать k скобок с множителем a, а из остальных скобок взять множитель b). Например, если то слагаемое можем получить, выбрав множитель a из первой и пятой скобки. Каков тип выборки? Порядок перечисления не важен (выбираем сначала первую, затем пятую скобки, или, наоборот, сначала пятую, затем первую – безразлично), повторяющихся элементов (одинаковых номеров скобок) в выборке нет. Это сочетание без повторений. Количество таких выборок равно



Таким образом, формула бинома для произвольного натурального n имеет вид:



или

.

Пример. При получим формулу



т.к.

Проверьте правильность формулы, перемножив на .

Строгое доказательство формулы бинома Ньютона проводится методом математической индукции.


1.5.12. Свойства биномиальных коэффициентов


Биномиальными коэффициентами являются величины

,

которые выражают число сочетаний из n элементов по k. Эти величины обладают следующими свойствами.

Свойство симметрии.

.

В формуле бинома это означает, что коэффициенты, стоящие на одинаковых местах от левого и правого концов формулы, равны, например:

Действительно, - это количество подмножеств, содержащих k элементов, множества, содержащего n элементов. А - количество дополнительных к ним подмножеств. Сколько подмножеств, столько и дополнений.

Свойство Паскаля.



Пусть . Число - это количество подмножеств из k элементов множества X. Разделим все подмножества на два класса:

1) подмножества, не содержащие элемент , - их будет ;

2) подмножества, содержащие элемент , - их будет .

Т
.к. эти классы не пересекаются, то по правилу суммы количество всех k-элементных подмножеств множества X будет равно


На этом свойстве основано построение треугольника Паскаля (рис. 1.28), в n-ой строке которого стоят коэффициенты разложения бинома .

Свойство суммы.



Подставим в формулу бинома Ньютона



значения . Получим



Заметим, что с точки зрения теории множеств сумма выражает количество всех подмножеств n-элементного множества. По теореме о мощности булеана (см. 1.4.6) это количество равно .

Свойство разности.



Положим в формуле бинома Ньютона . Получим в левой части , а в правой – биномиальные коэффициенты с чередующимися знаками, что и доказывает свойство.

Последнее свойство удобнее записать, перенеся все коэффициенты с отрицательными знаками в левую часть формулы:



тогда свойство легко запоминается в словесной формулировке: “ сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна сумме биномиальных коэффициентов с четными номерами”.

Задача. Найти член разложения бинома не содержащий x, если сумма биномиальных коэффициентов с нечетными номерами равна 512.

Решение. По свойству разности сумма биномиальных коэффициентов с четными номерами также равна 512, значит, сумма всех коэффициентов равна 512+512=1024. Но по свойству суммы это число равно . Поэтому . Запишем общий член разложения бинома и преобразуем его:



при получим:



Член разложения не содержит x, если , т.е. . Итак, девятый член разложения не содержит x и равен

Свойство максимума. Если степень бинома n – четное число, то среди биномиальных коэффициентов есть один максимальный при. Если степень бинома нечетное число, то максимальное значение достигается для двух биномиальных коэффициентов при и

Так, при максимальным является коэффициент , а при максимальное значение равно (рис. 1.28).


1.5.13. Контрольные вопросы и упражнения


  1. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов важен, является ______________________ .

  2. Выборка, среди элементов которой нет одинаковых, а порядок записи элементов безразличен, является ________________________ .

  3. Количество размещений с повторениями из n элементов по r элементов определяется по формуле


__________ = ________________________ .


  1. Количество сочетаний из n элементов по r элементов определяется по формуле


____________ = ________________________ .

  1. Сформулируйте основные правила комбинаторики.

  2. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для письма, если имеется 5 конвертов и 4 марки?

  3. Сколько пятизначных номеров можно составить из девяти цифр {1,2,3,4,5,6,7,8,9}?

  4. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (все полосы горизонтальные), если имеются ткани пяти различных цветов?

  5. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 7 футбольных команд, если известно, что все команды набрали различное количество очков?

  6. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек, если имеется 7 бегунов?

  7. Сколькими способами можно разложить 12 различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике оказалось по три предмета?

  8. Сколькими способами можно разложить 6 одинаковых шаров по четырем различным ящикам?

  9. Запишите разложение бинома .

  10. Докажите свойство симметрии биномиальных коэффициентов, сравнив формулы для и .

  11. Найдите максимальный числовой коэффициент в разложении бинома .

2-vneshnyaya-politika-namakon-namacon-zao-nezavisimoe-agentstvo-independent-marketing-marketing-i-konsalting.html
2-vnutrennyaya-politika-informacionnij-byulleten-18-mart-aprel-2011-g.html
2-vopros-lekcii-elektronnij-uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-ekologiya-i-ustojchivoe-razvitie.html
2-vopros-uvenchannij-lavrami.html
2-voprosi-dlya-tekushego-kontrolya-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-kursu-sociologiya-massovoj-kommunikacii-dlya.html
2-voprosi-obrazovaniya-kulturi-sporta-19-stranica-11.html
  • znanie.largereferat.info/7-tematicheskaya-struktura-apim-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-prakticheskaya-grammatika-anglijskogo-yazika-nazvanie.html
  • holiday.largereferat.info/obrazovatelnaya-programma-tvorcheskogo-i-nauchno-tehnicheskogo-razvitiya-detej-i-molodyozhi-yunost-nauka-kultura.html
  • kontrolnaya.largereferat.info/razdel-15-nalog-na-imushestvo-kodeks-respubliki-kazahstan-onalogah-i-drugih-obyazatelnih-platezhah-v-byudzhet-nalogovij-kodeks.html
  • zadachi.largereferat.info/po-predvaritelnim-dannim-zhertv-i-razrushenij-zemletryasenie-v-sibiri-ne-vizvalo-informacionnoe-agentstvo-regnum-10022011.html
  • lecture.largereferat.info/avtor-programmi-daudrih-n-i-rekomendovana-sekciej-ums.html
  • studies.largereferat.info/denezhnoe-obrashenie-rf-chast-7.html
  • shpora.largereferat.info/zhazhda-deneg-andzhej-sapkovskij-pirug-ili-net-zolota-v-serih-gorah.html
  • ekzamen.largereferat.info/rtut-i-drugie-dejstvie-himicheskih-elementov-na-organizm-cheloveka-chast-2.html
  • school.largereferat.info/152-realizaciya-meropriyatij-oblastnoj-celevoj-programmi-razvitie-fizicheskoj-kulturi-sporta-i-turizma-v-orenburgskoj-oblasti-na-2006-2010-godi.html
  • paragraf.largereferat.info/zakon-respubliki-kazahstan-ot-10-iyunya-1996-goda-6-i.html
  • uchit.largereferat.info/tema-43-kontrakti-metodicheskie-ukazaniya-i-kontrolnie-zadaniya-dlya-studentov-zaochnikov-specialnosti.html
  • literature.largereferat.info/biznes-kurs-anglijskogo-yazika-speckurs-po-analizu-hudozhestvennogo-teksta-2.html
  • uchebnik.largereferat.info/v-s-lavrus-vknige-izlozheni-svedeniya-o-konstrukcii-principah-dejstviya-i-harakternih-osobennostyah-himicheskih-istochnikov-toka-batareek-i-akkumulyatorov-kak-samomu-vibrat-neobhodimie-vam-batarejki-i-akkumulyatori.html
  • composition.largereferat.info/osobennosti-formirovaniya-novih-terminosistem-na-materiale-anglijskoj-i-russkoj-terminologij-mezhdunarodnogo-turizma.html
  • universitet.largereferat.info/tema-2-proizvodstvo-i-potreblenie-teplovoj-i-elektricheskoj-energii-nauchno-obrazovatelnij-kompleks-po-specialnosti.html
  • esse.largereferat.info/rabochaya-uchebnaya-programma-po-geometrii-dlya-9-a-klassa-na-2010-2011-uchebnij-god-stranica-4.html
  • studies.largereferat.info/keramika-pozdnej-bronzi-i-perehodnogo-vremeni-na-krasnoyarskom-arheologicheskom-komplekse.html
  • paragraph.largereferat.info/kultura-na-sovremennom-etape-nauchnaya-biblioteka.html
  • studies.largereferat.info/14-protokoli-ocenki-i-sopostavleniya-konkursnih-zayavok-na-uchastie-v-konkurse.html
  • lecture.largereferat.info/avtor-borisova-snezhana-uchenica10-a-klassa-mou-sosh-14-6-pankova-i-pitevaya-voda-odin-iz-vazhnejshih-zhiznennih-resursov.html
  • occupation.largereferat.info/nedelya-gumanitarnih-nauk-voprosi-viktorini-po-teme.html
  • turn.largereferat.info/pamyatka-po-not-dlya-shkoli-i-yunih-pionerov-detskij-klub-pri-izbe-chitalne.html
  • kontrolnaya.largereferat.info/rabochaya-programma-pedagoga-savatneevoj-e-a-bk-f-i-o-kategoriya-po-tehnologii-v-11-klasse-predmet-klass-stranica-2.html
  • zadachi.largereferat.info/nasledstvennie-bolezni-cheloveka.html
  • occupation.largereferat.info/o-hode-uborochnih-rabot-v-balakovskom-municipalnom-rajone-po-sostoyaniyu-na-16-iyulya-2012-goda-v-balakovskom-municipalnom.html
  • thescience.largereferat.info/i-gidrobiologicheskih-pokazatelej.html
  • writing.largereferat.info/kriminalistika-chast-68.html
  • knigi.largereferat.info/spisok-ispolzovannih-istochnikov-opisanie-prikladnoj-programmi-17-6-zaklyuchenie-19-spisok-ispolzovannih-istochnikov.html
  • knigi.largereferat.info/rezultati-tarirovki-dinamometra-ugolnaya-promishlennost-yavlyaetsya-odnoj-iz-vedushih-otraslej-promishlenno-razvitih.html
  • holiday.largereferat.info/nabokov-sigraet-protiv-legend-sovetskogo-hokkeya-konkurs-iskri-centra-azii-2012.html
  • shkola.largereferat.info/nakanuneru-tyumenci-uvelichili-ustavnij-kapital-urala-promishlennogo-urala-polyarnogo-na-11-mlrd-rublej-05032010.html
  • control.largereferat.info/biografiya-biografiya-i-tvorchestvo-49.html
  • uchitel.largereferat.info/radikalnij-islam-i-chinovnichya-kontrpropaganda-memorial.html
  • tests.largereferat.info/konferenciya-na-temu-obespecheniya-na-finansovih-rinkah-praktik-i-zadach-sovershenstvovaniya-zakonodatelstv-a-g-aksakov-stranica-7.html
  • uchenik.largereferat.info/gospodarskij-mehanzm.html
  • © LargeReferat.info
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.